Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，•的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，可設(shè)M、N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并加以觀察，可得當(dāng)P與正方體的某個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，•達(dá)到最大值；當(dāng)P與正方體某個(gè)面的中心重合時(shí)，•達(dá)到最小值．由此結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式，即可得到數(shù)量積•的取值范圍．
解答：解：根據(jù)題意，MN是正方體內(nèi)切球的最大弦長(zhǎng)
∴MN是內(nèi)切球的直徑
設(shè)M、N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn)，如圖
當(dāng)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，它與正方體的某個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，•達(dá)到最大值．
以C₁點(diǎn)為例，此時(shí)
•=•=•cos∠∠MC₁N=²=（）²=2；
當(dāng)點(diǎn)P與正方體某個(gè)面的中心重合時(shí)，•達(dá)到最小值．
此時(shí)⊥，得•=0
綜上所述，得數(shù)量積•的取值范圍為[0，2]
故答案為：[0，2]
點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體的內(nèi)切球，求一個(gè)數(shù)量積的取值范圍．著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和正方體的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．