Question

下列命題：
①已知數(shù)列{a_n}，a_n=

1

n(n+2)

（n∈N^*），那么

1

120

是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第1項(xiàng)；
②數(shù)列

2

，

5

，2

2

，

11

，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是a_n=

3n-1

；
③已知數(shù)列{a_n}，a_n=kn-5，且a₈=11，則a₁₇=29；
④已知a_n=a_n+1+5，則數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①由于a_n=

1

n(n+2)

，可得a₁₀=

1

10×12

，由于a_n單調(diào)遞減，即可判斷出；
②由于數(shù)列

2

，

5

，2

2

，

11

，…，其被開(kāi)方數(shù)為2，5，8，11，…為一等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為3，其通項(xiàng)公式b_n=2+3（n-1）=3n-1，即可判斷出；
③由于數(shù)列{a_n}，a_n=kn-5，且a₈=11，可得11=8k-5，解得k=2，可得a_n=2n-5，即可得出a₁₇；
④由于a_n=a_n+1+5，可得a_n+1-a_n=-5，因此數(shù)列{a_n}是遞減等差數(shù)列．

解答： 解：①∵a_n=

1

n(n+2)

，∴a₁₀=

1

10×12

=

1

120

，那么

1

120

是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，由于a_n單調(diào)遞減，因此最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，正確；
②∵數(shù)列

2

，

5

，2

2

，

11

，…，其被開(kāi)方數(shù)為2，5，8，11，…為一等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為3，其通項(xiàng)公式b_n=2+3（n-1）=3n-1，因此一個(gè)通項(xiàng)公式是a_n=

3n-1

，正確；
③∵數(shù)列{a_n}，a_n=kn-5，且a₈=11，∴11=8k-5，解得k=2，∴a_n=2n-5，∴a₁₇=2×17-5=29，正確；
④∵a_n=a_n+1+5，∴a_n+1-a_n=-5，∴數(shù)列{a_n}是遞減等差數(shù)列，正確．
其中真命題的個(gè)數(shù)為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．