Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距為C，（C＞0），左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線y²=

15

8

（a+c）x與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)四邊形ABFC是菱形得到B的橫坐標(biāo)為

1

2

（a-c），代入拋物線方程求出B的縱坐標(biāo)為

15

4

b，因此將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡整理得到關(guān)于橢圓離心率e的方程，即可得到該橢圓的離心率．

解答： 解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，
∴A（a，0），F(xiàn)（-c，0）
∵拋物線y²=

15

8

（a+c）x與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，
∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，可設(shè)B（m，n），C（m，-n）
∵四邊形ABFC是菱形，∴m=

1

2

（a-c）
將B（m，n）代入拋物線方程，得
n²=

15

8

（a+c）（a-c）=

15

16

b²
∴B（

1

2

（a-c），

15

4

b），再代入橢圓方程，得

[ 1 2 (a-c)]2

a2

+

( 15 4 b)2

b2

=1
化簡整理，得4e²-8e+3=0，解之得e=

1

2

（e=

3

2

＞1不符合題意，舍去）
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評：本題給出橢圓與拋物線相交得到菱形ABFC，求橢圓的離心率e，著重考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．