Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
（1）若f（-1）=0，且對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0，求f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時，設(shè)g（x）=f（x）-kx，求g（x）最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得到b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，從而求出a，b的值；（2）先求出g（x）的表達(dá)式，通過討論對稱軸的范圍，從而求出函數(shù)的最小值．

解答： 解（1）∵f（-1）=0，∴b=a+1①，
∵f（x）=ax²+bx+1（a＞0）的最小值為

4a-b2

4a

，
f（x）對x∈R時均有f（x）≥0，
∴必有f（x）_min=

4a-b2

4a

≥0，
∴a＞0，∴4a-b²≥0，即b²-4a≤0②，
將①代入②得b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）由（1）得g（x）=x²+（2-k）x+1，對稱軸x=

k

2

-1．
①

k

2

-1＜-2，即k＜-2時，g（x）_min=g（-2）=2k+1，
②

k

2

-1＞2，即k＞6時，g（x）_min=g（2）=-2k+9，
③-2＜

k

2

-1＜2，即-2＜k＜6時，g（x）_min=g（

k

2

-1）=

4k-k2

4

．

點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查了函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．