Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），S_n=（m+1）-ma_n對(duì)任意的n∈N^*都成立，其中m為常數(shù)，且m＜-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列{a_n}的公比為q，設(shè)q=f（m）．若數(shù)列{b_n}滿足；b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*）．求證：數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，設(shè)c_n=b_n•b_n+1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：T_n＜1．

Answer 1

（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，∵S_n=（m+1）-ma_n，①
∴S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），②
①-②得：a_n=ma_n-1-ma_n（n≥2），
∴（m+1）a_n=ma_n-1．∵a₁≠0，m＜-1，
∴a_n-1≠0，m+1≠0，∴

an

an-1

=

m

m+1

(n≥2)．
∴數(shù)列a_n是首項(xiàng)為1，公比為

m

m+1

的等比數(shù)列．
（2）f(m)=

m

m+1

，b1=a1=1，bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

，
∴

1

bn

=

b n-1+1

bn-1

，∴

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)，
∴數(shù)列{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（3）由（2）得

1

bn

=n，則bn=

1

n

．cn=bn•bn+1=

1

n(n+1)

，
Tn=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．