Question

定義：若函數(shù)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)，有，則稱是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn). 已知函數(shù).
（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）在(2)的條件下，若圖象上兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，求實(shí)數(shù)b的最小值．
(參考公式：若，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為)

Answer 1

（1）和3；（2）；（3）。

試題分析：(1) 當(dāng)，時(shí)，由，    
解得或，故所求的不動(dòng)點(diǎn)為和3.  ------------------3分
(2)令，則 ①
由題意，方程①恒有兩個(gè)不等實(shí)根，所以------------5分
即恒成立，       
則，    ------------------8分
(3)依題意設(shè)， 則AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為
又AB的中點(diǎn)在直線上
∴ ------------9分
又是方程①的兩個(gè)根， ，即，
∴==  ------------11分

∴當(dāng)  時(shí)，b_min=   ------------------12分
點(diǎn)評：做此題的關(guān)鍵是：①理解新定義：求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)即為求方程=的根；②發(fā)現(xiàn)參數(shù)b可以表示成參數(shù)a的函數(shù)即，至此，求參數(shù)b最小值的問題轉(zhuǎn)化為求b關(guān)于a的函數(shù)最小值的問題．