Question

過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。  
（Ⅰ）當(dāng)時，求證：⊥；
（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求值；若不在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）存在，使得對任意的，都有成立，證明略

解：本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，
考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力。（12分）
依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有

由消去x可得                     ……………2分   
從而有          ①
于是    ②
又由，可得  ③…………4分   
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時，點即為拋物線的焦點，為其準線
此時 ①可得        ……………5分
證法1：
        ……………6分
證法2：
            …………6分
         
(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：
證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有
                           ………8分  
   ………10分
將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立                                                                                                                 ……………12分
證法2：如圖2，連接,則由可得
,
所以直線經(jīng)過原點O，同理可證直線也經(jīng)過原點O  ……………9分
又設(shè)
則            …………12分