Question

已知sin

x

4

、cos

x

4

是y的方程y²+py+q=0的兩個(gè)實(shí)根，設(shè)函數(shù)f（x）=p²+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

，試問(wèn)
（1）求f（x）的最值；（2）求f（x）的單增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用韋達(dá)定理求出p，q代入f（x）=p²+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

，求f（x）的表達(dá)式，然后求其最值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，求出函數(shù)f（x）單增區(qū)間．

解答：解：（1）根與系數(shù)的關(guān)系 sin

x

4

+cos

x

4

=-p
sin

x

4

cos

x

4

=q
p²=sin²

x

4

+cos²

x

4

+2sin

x

4

cos

x

4

=1+2q
f（x）=p²+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

=1+2q+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

=1-2cos²

x

4

+2

3

q
1-2cos²

x

4

=-cos

x

2

    2q=2sin

x

4

cos

x

4

=sin

x

2

f（x）=

3

sin

x

2

-cos

x

2

=2sin（

x

2

-

π

6

）
f（x）的最大值 2，最小值-2
（2）因?yàn)閥=sinx的增區(qū)間：2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

 k∈Z，
所以f（x）=2sin（

x

2

-

π

6

）的單調(diào)增區(qū)間（-

2π

3

+4kπ，

4π

3

+4kπ）k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，是中檔題．