Question

已知在同一平面內(nèi)滿足條件：=，．
（I）求證：△ABC為正三角形；
（II）類比于（I），在同一平面內(nèi)，若向量滿足條件：=，，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的運(yùn)算法則將等式中的向量 用三角形的各邊對(duì)應(yīng)的向量表示，得到邊的關(guān)系，得出三角形的形狀．
（II）先，根據(jù)向量的運(yùn)算得出：∠AOB=∠COD；∠AOD=∠BOC從而∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點(diǎn)共線及、O、D三點(diǎn)共線，又得出四邊形ABCD為矩形．
解答：解：（I）證明：設(shè)
則（3分）
∴△ABC為正三角形（6分）
（II）四邊形ABCD為矩形（8分），則⇒2r²+2r²cos∠AOB=2r²+2r²cos∠COD⇒∠AOB=∠COD
同理∠AOD=∠BOC（10分）
又∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°
∴∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點(diǎn)共線
同理B、O、D三點(diǎn)共線又
∴四邊形ABCD為矩形．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算法則及利用向量判斷出三角形的形狀．解答的基礎(chǔ)是對(duì)向量運(yùn)算和變形的熟悉掌握．