【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)函數(shù),存在實(shí)數(shù), ,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)f(x)(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減(2).

【解析】分析:(1)確定函數(shù)的定義域,求到數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)假設(shè)存在,使得成立,則,分類討論求最值,即可求實(shí)數(shù)的取值范圍

詳解:(1)∵函數(shù)的定義域?yàn)镽,f′(x)=-

∴當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,

∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

(2)存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,則2[φ(x)]min<[φ(x)]max.

∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x

.

①當(dāng)t≥1時(shí),φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,∴2φ(1)<φ(0),即t>3->1;

②當(dāng)t≤0時(shí),φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0;

③當(dāng)0<t<1時(shí),若x∈[0,t),φ′(x)<0,φ(x)在[0,t)上單調(diào)遞減,

若t∈(t,1],φ′(x)>0,φ(x)在(t,1)上單調(diào)遞增,∴2φ(t)<max{φ(0),φ(1)},

即2·<max{1,}.(*)

由(1)知,g(t)=2·在[0,1]上單調(diào)遞減,

≤2·≤2,而,∴不等式(*)無解.

綜上所述,存在t∈(-∞,3-2e)∪(3-,+∞),使得命題成立.

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B.3
C.
D.

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D.

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C. D.

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