已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)（ω＞0），在函數(shù)f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為
π
4
，且當x∈[0，
π
3
]時，f（x）的最大值為
3
2
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區(qū)間．
分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積的坐標運算可求得f（x）=
3
sin（2ωx-
π
3
）+
3
2
+t，依題意可求得其周期T=π，從而可得ω；再由正弦函數(shù)的單調性與最值可求得t，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
3
sin（2x-
π
3
），令2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
（k∈Z）即可求得f（x）的單調遞增區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）∵
m
=（
3
sinωx，0），
n
=（cosωx，-sinωx），
∴f（x）=
m
•（
m
+
n
）+t
=（
3
sinωx，0）•（
3
sinωx+cosωx，-sinωx）+t
=
3
sinωx（
3
sinωx+cosωx）+t
=3sin2ωx+
3
sinωx•cosωx+t
=3•
1-cos2ωx
2
+
3
2
sin2ωx+t
=
3
sin（2ωx-
π
3
）+
3
2
+t…（4分）
∵函數(shù)f（x）對稱中心到對稱軸最小距離為
π
4

∴f（x）周期為T=4×
π
4
=π=
2π
2ω
，
∴ω=1…（6分）
∴f（x）=
3
sin（2x-
π
3
）+
3
2
+t
∵0≤x≤
π
3
，
∴0≤2x≤
2π
3
，
∴-
π
3
≤2x-
π
3
≤
π
3

∴-
3
2
≤sin（2x-
π
3
）≤
3
2
，
-
3
2
≤
3
sin（2x-
π
3
）≤
3
2
，
∴f（x）最大值為
3
2
+
3
2
+t=
3
2
，
∴t=-
3
2
．
∴f（x）=
3
sin（2x-
π
3
）…（10分）
（Ⅱ）令2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
…（12分）
2kπ-
π
6
≤2x≤2kπ+
5π
6

kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12
（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]（k∈Z） …（14分）
點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查向量的數(shù)量積的坐標運算，突出考查正弦函數(shù)的單調性與最值，考查推理與運算的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(-1，cosωx+
3
sinωx)，
n
=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且
m
⊥
n
，又函數(shù)f（x）的圖象任意兩相鄰對稱軸間距為
3
2
π．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）設α是第一象限角，且f(
3
2
α+
π
2
)=
23
26
，求
sin(α+
π
4
)
cos(π+2α)
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
sin(π-ωx)，cosωx)，
b
=(cosωx，-cosωx)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+
1
2
（ω＞0）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若cosx≥
1
2
，x∈(0，π)，且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函數(shù)f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的圖象上，對稱中心到對稱軸的最小距離為
π
4
，且當x∈[0，
π
3
]時f（x）的最小值為
3
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若對任意x1，x2∈[0，
π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函數(shù)f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的圖象上，對稱中心到對稱軸的最小距離為
π
4
，且當x∈[0，
π
3
]時f（x）的最小值為
3
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若對任意x1，x2∈[0，
π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求實數(shù)m的取值范圍．

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