Question

已知函數(shù)在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）證明a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在x=x₁和x=x₂取得極值得到：x₁，x₂是導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根．表示出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤＜x₁函數(shù)為增函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，根據(jù)不等式取解集的方法即可得到a的范圍；
（2）由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到導(dǎo)函數(shù)在x=0、2時(shí)大于0，導(dǎo)函數(shù)在x=1時(shí)小于0，得到如圖所示的三角形ABC，求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到相應(yīng)的z值，得到z的取值范圍即可．
解答：解：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²-2bx+2-b．
（1）由函數(shù)f（x）在x=x₁處取得極大值，
在x=x₂處取得極小值，知x₁，x₂是f'（x）=0的兩個(gè)根．
所以f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
當(dāng)x＜x₁時(shí)，f（x）為增函數(shù)，f'（x）＞0，
由x-x₁＜0，x-x₂＜0，得a＞0．
（2）在題設(shè)下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等價(jià)于，
即，
化簡(jiǎn)得．
此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob上三條直線：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0．
所圍成的△ABC的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：．
z在這三點(diǎn)的值依次為．
所以z的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．在解題時(shí)學(xué)生應(yīng)注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題．