已知正方體ABCD、EFGH的棱長為1，現(xiàn)從8個頂點中隨機取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機變量X表示取出的三角形的面積．
（I）求概率；
（II）求X的分布形列及數(shù)學期望E（X）．
【答案】分析：（I）從正方體的8個頂點中任意取3個構(gòu)成三角形的頂點共有種取法，然后借助于正方體找出面積分別為的三角形的個數(shù)，利用等可能事件的概率公式即可求解
（II）先判斷出由正方體的頂點組成的三角形的面積的可能值即X可能取值，求出其概率，即可求解分布列和期望
解答：解：（I）從正方體的8個頂點中任意取3個構(gòu)成三角形的頂點共有種取法
其中X=的三角形如圖中的△ABC，這類三角形共有24個
∴P（X=）==
（II）由（I）知，形如△BEG的三角形有8個，其面積為
形如△ABC的三角形有4×6=24個，這些三角形的面積都是
形如△ABG的三角形有4×6=24個，這些三角形的面積都是
而X可能取值有
P（X=）=
P（X=）=
∴隨機變量X的分布列為

EX=
點評：本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及期望的求解，解題的關(guān)鍵是準確求出各種情況下的概率
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如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點P在平面DD1C1C內(nèi)，PD1=PC1=
2
．求證：
（1）平面PD1A1⊥平面D1A1BC；
（2）PC1∥平面A1BD．

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已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點，那么直線AE與D1F所成角的余弦值為（　�。�

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（1）當E恰為棱CC1的中點時，試證明：平面A1BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC1上是否存在一個點E，可以使二面角A1-BD-E的大小為45°？如果存在，試確定點E在棱CC1上的位置；如果不存在，請說明理由．

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已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則四面體A1-C1BD在面A1B1C1D1上的正投影的面積與該四面體表面積之比是
3
6
3
6
．

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精英家教網(wǎng)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點．
（1）求證：C1O∥面AB1D1；
（2）求異面直線AD1與 C1O所成角的大�。�

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