已知圓O:x2+y2=8交x軸于A,B兩點(diǎn),曲線C是以AB為長軸,直線:x=-4為準(zhǔn)線的橢圓.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若M是直線上的任意一點(diǎn),以O(shè)M為直徑的圓K與圓O相交于P,Q兩點(diǎn),求證:直線PQ必過定點(diǎn)E,并求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)如圖所示,若直線PQ與橢圓C交于G,H兩點(diǎn),且,試求此時弦PQ的長.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則:

  ,從而:,故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4分

  (Ⅱ)設(shè),則圓K方程為與圓聯(lián)立消去的方程為,過定點(diǎn).8分

  (Ⅲ)解法一:設(shè),則,①

  ,,即:

  代入①解得:(舍去正值),,所以,

  從而圓心到直線的距離,

  從而.13分

  解法二:過點(diǎn)分別作直線l的垂線,垂足分別為,設(shè)的傾斜角為,則:

  ,從而

  由得:,,故

  由此直線PQ的方程為,以下同解法一.

  解法三:將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得:,設(shè),則

  ,,所以代入韋達(dá)定理得:

  ,

  消去得:,由圖得:,

  所以,以下同解法一.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:遼寧省沈陽二中2011-2012學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型:013

已知圓O:x2+y2=1,點(diǎn)P在直線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若圓O上存在點(diǎn)Q,使∠OPQ=30°,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0的取值范圍是

[  ]
A.

[-2,2]

B.

[0,2]

C.

[-1,1]

D.

[0,1]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

       已知圓O:x2+y2=1,圓C:(x-4)2+(y-4)2=1,由兩圓外一點(diǎn)P(a,b)引兩圓切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,如圖,滿足|PA|=|PB|;

       (Ⅰ)將兩圓方程相減可得一直線方程l:x+y-4=0,該直線叫做這兩圓的“根軸”,試證點(diǎn)P落在根軸上;

       (Ⅱ)求切線長|PA|的最小值;

(Ⅲ)給出定點(diǎn)M(0,2),設(shè)P、Q分別為直線l和圓O上動點(diǎn),求|MP|+|PQ|的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓Ox2y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由圓O外一點(diǎn)P(a,b)向圓O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,|PQ|=|PA|成立,如圖.

(1)求a、b間關(guān)系;

(2)求|PQ|的最小值;

(3)以P為圓心作圓,使它與圓O有公共點(diǎn),試在其中求出半徑最小的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

 已知圓Ox2y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由圓O外一點(diǎn)P(a,b)向圓O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,|PQ|=|PA|成立,如圖.

(1)求a、b間關(guān)系;

(2)求|PQ|的最小值;

(3)以P為圓心作圓,使它與圓O有公共點(diǎn),試在其中求出半徑最小的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓O:x2+y2=1,圓C:(x-2)2+(y-4)2=1,由兩圓外一點(diǎn)P(a,b)引兩圓切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,如圖,滿足|PA|=|PB|.

(1)求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系;

(2)求切線長|PA|的最小值;

(3)是否存在以P為圓心的圓,使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切?若存在,求出圓P的方程;若不存在,說明理由.

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