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已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1、F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，
MA1
=2
A1F1
．
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點M的直線l'與橢圓交于C、D兩點，若
OC
•
OD
=0，求直線l'的方程．
（I）設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，半焦距為c
則|
MA1
|=
a2
c
-a，|
A1F1
|=a-c.
由題意，得
a2
c
-a=2(a-c)
2a=4
a2=b2+c2
∴a=2，b=
3
，c=1
故所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1

（II）點M的坐標為M（-4，0），設C、D兩點坐標分別為C（x1，y1），D（x2，y2），l'的方程為y=k（x+4），代入橢圓方程整理，得
(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0
則x1+x2=-
32k2
3+4k2
，x1x2=
64k2-12
3+4k2
由
OC
•
OD
=0得x1x2+y1y2=0
又y1y2=k2[x1x2+4(x1+x2)+16]
后三個式子得(1+k2)
64k2-12
3+4k2
+4k2
(-32k2)
3+4k2
+16k2=0
解得k2=
3
25
，代入第一個中檢驗有△＞0，∴k=±
3
5
，
所以所求直線l’的主程為y=±
3
5
(x+4)
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點F內分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點A、B，且
AC
=2
CB
，當△AOB的面積最大時，求直線l和橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點F′（-2，0），F(xiàn)（2，0），點P為坐標平面內的動點，且滿足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四點，自下而上依次記這四點為A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，右焦點為（2
2
，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則△ABO為（　�。�
A．銳角三角形B．直角三角形C．不確定D．鈍角三角形

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點Q是橢圓外的動點，滿足|
F1Q
|=2a，點P是線段F1Q與該橢圓的交點
（1）若點P的橫坐標為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦點，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF2|=
3
5
．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足
OA
+
OB
=λ
OP
，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，過橢圓G右焦點F的直線m：x=1與橢圓G交于點M（點M在第一象限）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓G的左頂點，平行于AM的直線l與橢圓相交于B，C兩點．判斷直線MB，MC是否關于直線m對稱，并說明理由．

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