定義在R上的函數(shù)y=f(x)其周期為4,且滿足:①f(x)是偶函數(shù);②(1,0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn);且當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)=log3x,則方程f(x)+4=0在區(qū)間(-2,10)內(nèi)的所有實(shí)根個(gè)數(shù)為( )
A.4
B.5
C.6
D.8
【答案】分析:利用函數(shù)的周期性、奇偶性和對(duì)稱性,結(jié)合圖象可得方程的根.
解答:解:根據(jù)題意,當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)=log3x=-4,可得x=3-4=
因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=log3(-x)=-4,
可得,
∵f(x-1)是奇函數(shù),圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,
∴當(dāng)-2<x≤-1時(shí)的函值域與當(dāng)-1≤x<0時(shí)函數(shù)值域互為相反數(shù),f(x)≥0,方程f(x)=-4沒(méi)有實(shí)根
再根據(jù)f(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于點(diǎn)y軸對(duì)稱得,當(dāng)-2<x≤-1時(shí)的函值域與當(dāng)1≤x<2時(shí)函數(shù)值域相同,
f(x)≥0,方程f(x)=-4沒(méi)有實(shí)根,
因此函數(shù)在(-2,2)只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
因?yàn)楹瘮?shù)的周期為4,因此可得在(2,6)只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根+4,
在(6,10)只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根+8,
因此可得函數(shù)方程f(x)+4=0在區(qū)間(-2,10)內(nèi)的所有實(shí)根個(gè)數(shù)為6個(gè).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的周期性、奇偶性以及對(duì)稱性的綜合應(yīng)用,綜合性比較強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

11、定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x3,則f(2009)的值是(  )

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13、定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:f(x)=f(4-x),且f(x-2)+f(2-x)=0,則f(508)=
0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(3-x)=f(x),(x-
3
2
)f′(x)>0(x≠
3
2
)
,若x1<x2,且x1+x2>3,則有( �。�
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列四個(gè)命題:
①“a>b”是“2a>2b”成立的充要條件;
②“a=b”是“l(fā)ga=lgb”成立的充分不必要條件;
③函數(shù)f(x)=ax2+bx(x∈R)為奇函數(shù)的充要條件是“a=0”
④定義在R上的函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的必要條件是
f(-x)f(x)
=1”

其中真命題的序號(hào)是
①③
①③
.(把真命題的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x3,則f(2011)=
-1
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