Question

某隧道長(zhǎng)2150米，通過隧道的車速不能超過20米/秒．一個(gè)由55輛車身都為10米的同一車型組成的運(yùn)輸車隊(duì)勻速通過該隧道．設(shè)車隊(duì)的速度為x米/秒，根據(jù)安全和車流的需要，相鄰兩車均保持米的距離，其中a為常數(shù)且，自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時(shí)間為y（秒）．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）求車隊(duì)通過隧道所用時(shí)間取最小值時(shí)車隊(duì)的速度．

Answer 1

【答案】分析：（1）自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時(shí)間y等于隧道長(zhǎng)加車長(zhǎng)加車的間隙長(zhǎng)，除以火車的速度x米/秒，依題意列出函數(shù)解析式并化簡(jiǎn)即可
（2）由函數(shù)y=的性質(zhì)，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最小值，但由于定義域?yàn)椋?，20]，故需要比較x=與定義域的位置關(guān)系，分≤a≤1，≤a＜兩種情況討論函數(shù)的最小值及取最小值時(shí)函數(shù)自變量的取值
解答：解：（1）依題意，自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時(shí)間y等于隧道長(zhǎng)加車長(zhǎng)加車的間隙長(zhǎng)，除以火車的速度x米/秒，
即  y=
=    （0＜x≤20，≤a≤1）
（2）令，得x=，又由=20，得a=
∴①當(dāng)≤a≤1時(shí)，≤20
由均值定理知當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，y=≥2+18=180+18
即當(dāng)x=時(shí)，y_min=180+18
②當(dāng)≤a＜時(shí)，＞20
∵y′=-+9a＜0，（0＜x≤20）
∴函數(shù)y=在（0，20]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=20時(shí)，y_min=+180a+18=153+180a
答：若≤a＜，則當(dāng)車隊(duì)速度為20m/s時(shí)，通過隧道所用時(shí)間最少；若≤a≤1，則當(dāng)車隊(duì)速度為m/s時(shí)，通過隧道所用時(shí)間最少
點(diǎn)評(píng)：本題考查了將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，求函數(shù)解析式的方法，利用函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)最值的方法，分類討論的思想方法