Question

（08年德州市質(zhì)檢理）（12分）已知與向量平行的直線L 過(guò)橢圓C:的焦點(diǎn)以及點(diǎn)（0,-2），橢圓C的中心關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)在直線上

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N且滿足，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程

Answer 1

解析：（1）直線L的方程為，①

過(guò)原點(diǎn)垂直于L的直線方程為，②

解①②得x =3/2                                                                                                                      2分

因?yàn)闄E圓中心O（0,0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上

∴

∵直線L過(guò)橢圓焦點(diǎn)．∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），∴ c=2，a²=6，b²=2

故橢圓C的方程為    ③                                                                         5分

（2）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y=k （x+2），代入③并整理得

設(shè)M（X₁，Y₁）,N（X₂,Y₂），則   7分

∴

點(diǎn)O到直線m的距離                                                                               9分

∵即

又由得，

∴

而，即，

解得k=±

此時(shí)直線m的方程為                                                                      11分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為= ―2,也有，

經(jīng)檢驗(yàn)。上述直線均滿足

故直線的方程為                                                              12分