Question

橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是橢圓上一點(diǎn)．
（1）若M的坐標(biāo)為（2，0），橢圓的離心率e=

3

2

，求a，b的值；
（2）若

F1M

•

F2M

=0．
①求橢圓的離心率e的取值范圍；
②當(dāng)橢圓的離心率e取最小值時，點(diǎn)N（0，3）橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5

2

，求此時橢圓G的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意知，M的坐標(biāo)為（2，0）即橢圓的長軸上的頂點(diǎn)，故 a=2，再由離心率的值求出半焦距c，從而求出b，即得
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）①設(shè)M的坐標(biāo)，由若

F1M

•

F2M

=0 和橢圓的方程，解出M的橫坐標(biāo)的平方，再利用M的橫坐標(biāo)的平方
大于或等于0，且小于或等于a²；，求出離心率的平方的范圍，進(jìn)而得到離心率的范圍．
②當(dāng)e=

2

2

時，設(shè)橢圓G的方程（含參數(shù)b），設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，化簡|HN|² ，利用其最大值，分類討論求出參數(shù)
b的值，即得橢圓G的方程．

解答：解：（1）由橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）及橢圓上的一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）
可知a=2，
又

c

a

=

3

2

，∴c=

3

，b=1，∴橢圓的方程為 

x2

4

+y2=1．
（2）①設(shè)M（x₀，y₀），
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1
∵

F1M

•

F2M

=0，
∴（x₀+c，y₀）•（x₀-c，y₀）=0，

x

2 0

=a2(2-

a2

c2

)，
∵0≤x₀≤a²
∴0≤a2(2-

a2

c2

)≤a2，解得  e2≥

1

2

．
∴e∈[

2

2

，1)
②當(dāng)e=

2

2

時，設(shè)橢圓G的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1
設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，則|HN|²；；=x²+（y-3）²；；=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得   b=-3±5

2

 （舍去），
若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，∴所求的橢圓的方程為   

x2

32

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩個向量的數(shù)量積公式及橢圓的性質(zhì)解決具體問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．