Question

已知圓O以x+2y-3=0與2x-y-1=0的交點(diǎn)為圓心，且與兩個(gè)坐標(biāo)軸相切．
（1）求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為

3

的直線l與圓O交與A、B兩點(diǎn)，且|AB|=

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）聯(lián)立

x+2y-3=0 2x-y-1=0

，得圓心坐標(biāo)為O（1，1），由圓與兩個(gè)坐標(biāo)軸相切，得圓半徑r=1，由此能求出圓的方程．
（2）設(shè)l：y=

3

x+b，則圓心到l的距離d=

| 3 -1+b|

2

=

1

2

，由此能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）聯(lián)立

x+2y-3=0 2x-y-1=0

，得x=1，y=1，
∴圓心坐標(biāo)為O（1，1），
∵圓與兩個(gè)坐標(biāo)軸相切，∴圓半徑r=1，
∴圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1．（4分）
（2）∵斜率為

3

的直線l與圓O交與A、B兩點(diǎn)，且|AB|=

3

，
∴設(shè)l：y=

3

x+b，則圓心到l的距離d=

| 3 -1+b|

2

=

1

2

，
解得b=2-

3

或b=-

3

．（10分）
∴l(xiāng)：

3

x-y+2-

3

=0或

3

x-y-

3

=0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．