Question

某車間生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，已知總收益R（總收益指工廠出售產(chǎn)品的全部收入，它是成本與總利潤(rùn)的和，單位：元）是年產(chǎn)量Q（單位：件）的函數(shù)，并且滿足下面關(guān)系式：
R=f（Q）=

400Q- 1 2 Q2 0≤Q≤400 80000 Q＞400

，求每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大？此時(shí)總利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知y=R-100Q-20000=

300Q- 1 2 Q2-20000 0≤Q≤400 60000-100Q Q＞400

（Q∈Z），由此進(jìn)行分類討論能夠求出每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大，并能求出此時(shí)總利潤(rùn)．

解答：解：∵y=R-100Q-20000
=

300Q- 1 2 Q2-20000 0≤Q≤400 60000-100Q Q＞400

（Q∈Z），
∴0≤Q≤400時(shí)，
y=300Q-

1

2

Q2-20000
=-

1

2

（Q-300）²+25000，
此時(shí)，Q=300時(shí)，y_max=25000．
Q＞400時(shí)，y=60000-100Q＜20000．
所以，每年生產(chǎn)300件時(shí)利潤(rùn)最大，最大值為25000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．