Question

已知橢圓C：（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a、b、c成等比數(shù)列．
（1）求的值．
（2）若橢圓C的上頂點、右頂點分別為A、B，求證：∠F₁AB=90°．
（3）若P為橢圓C上的任意一點，是否存在過點F₂、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b²=ac及b²=a²-c²能夠推導出的值．
（2）由題設條件可得，，，由此導出∠F₁AB=90°．
（3）由題設，顯然直線l垂直于x軸時不合題意，設直線l的方程為y=k（x-c），求出R點坐標利用題設條件進行求解．
解答：解：（1）由題設b²=ac及b²=a²-c²，得．
（2）由題設A（0，b），B（a，0），又F₁（-c，0），
得，，
于是，
故∠F₁AB=90°．（10分）
（3）由題設，顯然直線l垂直于x軸時不合題意，設直線l的方程為y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F₂（c，0），及，得點P的坐標為（2c，kc），（12分）
因為點P在橢圓上，
所以，
又b²=ac，得，，與k²≥0矛盾，
故不存在滿足題意的直線l．
點評：本題考查橢圓性質(zhì)的靈活運用和橢圓與直線的位置關系，難度較大，解題時要認真審題仔細解答．