Question

（2006•東城區(qū)二模）雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，且|

OA

|2+|

OB

|2=

4

3

|

OA

|2•|

OB

|2，其中A（0，-b），B（a，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上存在關(guān)于直線l：y=kx+4對稱的點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意有：

c a =2 a2+b2= 4 3 a2b2 a2+b2=c2.

解得a，b即可；
（2）對k分類討論，當(dāng)k≠0時，設(shè)雙曲線上兩點M、N關(guān)于直線l對稱，
由l⊥MN，設(shè)直線MN的方程為y=-

1

k

x+m．與雙曲線的方程聯(lián)立得到△＞0和根與系數(shù)的關(guān)系，及利用中點坐標(biāo)公式等即可得出．

解答：解：（1）依題意有：

c a =2 a2+b2= 4 3 a2b2 a2+b2=c2.

解得：a=1，b=

3

，c=2．
所求雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1．
（2）當(dāng)k=0時，顯然不存在．
當(dāng)k≠0時，設(shè)雙曲線上兩點M、N關(guān)于直線l對稱，
由l⊥MN，設(shè)直線MN的方程為y=-

1

k

x+m．
則M、N兩點的坐標(biāo)滿足方程組

y=- 1 k x+m 3x2-y2=3.

消去y得（3k²-1）x²+2kmx-（m²+3）k²=0．
顯然3k²-1≠0，∴△=（2km）²-4（3k²-1）[-（m²+3）k²]＞0．
即k²m²+3k²-1＞0．①
設(shè)線段MN中點D（x₀，y₀）．
則

x0= -km 3k2-1 y0= 3k2m 3k2-1 .

∵D（x₀，y₀）在直線l上，∴

3k2m

3k2-1

=

-k2m

3k2-1

+4．即k²m=3k²-1②
把②代入①中得   k²m²+mk²＞0，解得m＞0或m＜-1．
∴

3k2-1

k2

＞0或 

3k2-1

k2

＜-1．
則|k|＞

3

3

或|k|＜

1

2

，且k≠0．
∴k的取值范圍是(-∞，-

3

3

)∪(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)∪(

3

3

，+∞)．

點評：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系及△＞0、中點坐標(biāo)公式、分類討論思想方法等是解題的關(guān)鍵．