Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，H、F分別為AB、CC₁的中點(diǎn)，各棱長都是4.

(1)求證CH∥平面FA₁B.

(2)求證平面ABB₁A₁⊥平面FA₁B.

(3)設(shè)E為BB₁上一點(diǎn)，試確定E的位置，使HE⊥BC₁.

Answer 1

在正三棱柱中，∵H為AB中點(diǎn)，∴CH⊥AB，過H作HM⊥AB交A₁B₁于M，分別以直線AB、HC、HM為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(0,2，2)，A(－2,0,0)，A₁(－2,0,4)，C₁(0，2，4)．

(1)證明：∵＝(0,2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(－2，2，2)，∴＝(－)，

∵與不共線，∴∥平面FA₁B，

∵HC⊄平面FA₁B，∴HC∥平面FA₁B.

(2)證明：平面ABB₁A₁的一個(gè)法向量為n₁＝＝(0,2，0)，

設(shè)平面FA₁B的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，則

令x＝1得n＝(1,0,1)，

∵n·n₁＝0，∴n⊥n₁，∴平面ABB₁A₁⊥平面FA₁B.

(3)∵E在BB₁上，∴設(shè)E(2,0，t)，(t>0)，則＝(2,0，t)，＝(－2,2，4)，∵HE⊥BC₁，

∴·＝－4＋4t＝0，∴t＝1，

∴E是BB₁上靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)(或BE＝BB₁)．