Question

【題目】已知函數(shù)，，在處的切線方程為

（1）若，證明：；

（2）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

Ⅰ求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由切線方程可得的解析式，令，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，即可得證；

Ⅱ設(shè)在處的切線方程為，可得，令，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，運用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)的單調(diào)性的運用，即可得證．

Ⅰ由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故，；

可知，，，由，可得，

令，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，設(shè)，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故，即，

故；

Ⅱ設(shè)在處的切線方程為，

易得，，令，

即，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，設(shè)，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故F，，

設(shè)的根為，則，

又函數(shù)單調(diào)遞減，故，故，

設(shè)在處的切線方程為，易得，

由Ⅰ得，設(shè)的根為，則，

又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，

又，．