Question

已知點(diǎn)A（0，

3

）和圓O₁：x²+（y+

3

）²=16，點(diǎn)M在圓O₁上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在半徑O₁M上，且|PM|=|PA|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，可得|O₁P|+|PA|=|O₁M|=4，得到P的軌跡是以點(diǎn)A（0，

3

），O₁（0，-

3

）為焦點(diǎn)的橢圓．根據(jù)橢圓的基本概念求出橢圓方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：由題意，可得圓O₁：x²+（y+

3

）²=16是以O(shè)₁（0，-

3

）為圓心，半徑r=4的圓
∵點(diǎn)P在半徑O₁M上，且|PM|=|PA|，
∴|O₁P|+|PA|=|O₁P|+|PM|=|O₁M|=4，
可得點(diǎn)P到A（0，

3

），O₁（0，-

3

）的距離之和為4（常數(shù)）
因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A（0，

3

），O₁（0，-

3

）為焦點(diǎn)的橢圓，
∵焦點(diǎn)在y軸上，c=

3

且2a=4，
∴a=2得a²=4，b²=a²-c²=4-3=1，
∴橢圓方程為x2+

y2

4

=1．
綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+

y2

4

=1．
故答案為：x2+

y2

4

=1．

點(diǎn)評：本題給出圓O₁上動(dòng)點(diǎn)P和定點(diǎn)A，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．