已知直三棱柱ABC-A1B1C1（如圖），若AB=BC=3，AA1=6，且AB⊥BC．
（Ⅰ）求點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離；
（Ⅱ）設(shè)D為BB1中點(diǎn)，求平面A1CD與底面A1B1C1所成二面角的余弦值．

【答案】分析：（1）過B作BH⊥AC于H，根據(jù)面ABC⊥面AA1C1C，可知BH⊥面AA1C1C，從而BH為點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離，故可求；
（2）以B1點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出半平面的法向量，進(jìn)而利用夾角公式可求．
解答：解：（1）過B作BH⊥AC于H，
在直三棱柱中，面ABC⊥面AA1C1C
∴BH⊥面AA1C1C，即BH為點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離；
∵AB⊥BC，AB=BC=3，
∴AC=3，
利用等面積可得BH=
∴點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離等于  

（2）以B1點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A1（3，0，0），C（0.3.6）．D（0，0，3）；

設(shè)面A1DC的法向量為
則，∴
又面A1B1C1的一個(gè)法向量為
∴，
∴平面A1CD與底面A1B1C1所成二面角的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題以直三棱柱為載體，考查點(diǎn)面距離，考查面面角，關(guān)鍵是空間直角坐標(biāo)系的建立．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，且D，E，F(xiàn)分別為BC，BB1，AA1的中點(diǎn)．
（I） 求證：平面B1FC∥平面EAD；
（II）求證：BC1⊥平面EAD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，E，F(xiàn)，H分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，
（I）證明：EF⊥AH；    
（II）求四面體E-FAH的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC；M．N．P分別是棱BC．CC1．B1C1的中點(diǎn)．A1Q=3QA， BC=
2
AA1
（Ⅰ）求證：PQ∥平面ANB1；
（Ⅱ）求證：平面AMN⊥平面AMB1．

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