已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)，求證：

(1)f(0)=0；

(2)若在區(qū)間[a，b](b＞a＞0)上f(x)有最大值M，那么f(x)在區(qū)間[－b，－a]上必有最小值－M．

答案：略
解析：

充分利用奇函數(shù)的定義及奇函數(shù)圖象的特點求解．

證明　(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

f(－0)=－f(0)，

即f(0)=0，如圖．

(2)M是f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值，則對于任意的，都有f(x)≤M．

任取，于是≤M

f(x)是R上的奇函數(shù)，

，

－，，

即對任意的都有≥－M，成立．

f(x)在區(qū)間[－b，－a]上的最小值是－M．

利用奇(偶)函數(shù)圖象的特點是解決某些問題的重要輔助手段．該例題的條件反映到圖象上大致是：若[a，b]上，f(x)最大，在圖象上表現(xiàn)為點是函數(shù)圖象在[a，b]上曲線的最高點，由圖象的對稱性可知，一定是圖象在[－b，－a]上曲線的最低點，但圖形不能代替推理證明．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+
a
x
在[1，e]上的最小值為3，求a的值；
（3）若存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＞x02+
a
x0
，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（-1）=0，則滿足xf（x）≤0的x的取值的范圍為
[-1，1]
[-1，1]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)=
a•2x+b
2x+1
，且f(2)=
3
5

（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）解不等式：f-1（x）＞1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）在x≥0時的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=ln x-ax+1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有5個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

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