已知拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過l上一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，現(xiàn)某學(xué)習(xí)小組在研究討論中提出如下三個(gè)猜想：

(1)直線PA⊥PB恒成立；

(2)直線AB恒過定點(diǎn)F；

(3)等式中的λ恒為常數(shù)．請你一一進(jìn)行驗(yàn)證．

答案：
解析：

　　(1)由，對其求導(dǎo)得：，

　　設(shè)，則直線的斜率分別為，

　　∴直線的方程為，即，

　　同理：直線的方程為，∴可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

　　又點(diǎn)在準(zhǔn)線上，∴，即，

　　∵，∴，猜想(1)成立．　　4分

　　(另解：設(shè)，則點(diǎn)在直線上，∴，∴是方程的兩根，故，∴，∴，猜想(1)成立)

　　(2)直線的斜率，

　　∴直線的方程為，又，∴，

　　顯然直線過焦點(diǎn)，猜想(2)成立．　　8分

　　(3)，，

　　∵

　　，

　　又，

　　∴，

　　所以恒成立，為常數(shù)．　　12分


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省贛榆高級中學(xué)2007－2008學(xué)年度高三第三次階段考試數(shù)學(xué)試題(理) 題型：044

已知直線l過M(1，0)與拋物線x2＝2y交于A、B兩相異點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸的右側(cè)且滿足．

(Ⅰ)求P點(diǎn)的軌跡C的方程；

(Ⅱ)若曲線C的切線斜率為λ，滿足，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為a，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：陜西省師大附中2011－2012學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知F是拋物線y＝x2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是

[　　]

A．x2＝2y－1

B．x2＝2y－

C．x2＝y(tǒng)－

D．x2＝2y－2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過l上一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.

某學(xué)習(xí)小組在研究討論中提出如下三個(gè)猜想：

(1)直線PA、PB恒垂直；

(2)直線AB恒過焦點(diǎn)F；

(3)等式·＝λ2中的λ恒為常數(shù).

現(xiàn)請你一一進(jìn)行論證.

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