Question

如圖，ABB₁A₁是圓臺的軸截面，O₁、O分別是上下底面圓的圓心，A₁O₁=1，AO=2，母線與底面成60°角，點C在底面圓周上，且，求：
（1）圓臺的側面積和體積；
（2）異面直線A₁C與OO₁所成的角的正切值．

Answer 1

解：（1）由已知A₁O₁=1，AO=2，作A₁D⊥AO于點D，則AD=AO-A₁O₁=1，
因為軸截面ABB₁A₁垂直于圓臺底面，所以A₁D垂直圓臺底面，
所以∠A₁AD=60°，（3分）
于是在Rt△A₁AD中，得A₁A=2，，
即圓臺的母線長為2，高為．（5分）
所以圓臺的側面積為S=π（1+2）×2=6π，
圓臺的體積為．（8分）
（2）由（1）可知A₁D∥OO₁，連接CD，
則∠CA₁D就是異面直線A₁C與OO₁所成的角，（10分）
因為AO=CO=2，，
所以∠AOC=90°，
又AD=DO=1，所以在Rt△COD中可得，
所以．（13分）
分析：（1）要求側面積，則需求母線長，要求體積，則需求高，所以A₁D⊥AO易知A₁D垂直圓臺底面，所以∠A₁AD為母線與底面所成的角，于是在Rt△A₁AD中求得母線和高，再由側面積公式和體積公式求解．
（2）由（1）易知A₁D∥OO₁，連接CD，可知∠CA₁D就是異面直線A₁C與OO₁所成的角，再求得CD即可．
點評：本題主要考查圓臺的結構特征，側面積和體積的求法以及異面直線所成的角，同時，考查了作輔助線的能力和轉化能力，屬中檔題．