Question

3．以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，若一條雙曲線與它的共軛雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則當它們的實、虛軸都在變化時，e₁²+e₂²的最小值是4．

Answer 1

分析 求出e₁²+e₂²，利用基本不等式，求出e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：∵e₁²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$，e₂²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}$，∴e₁²+e₂²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}$=2+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$≥2+2=4
（當且僅當a=b時等號成立）．
∴當它們的實、虛軸都在變化時，e₁²+e₂²的最小值是4．
故答案為：4．

點評 本題給出共軛雙曲線的概念，叫我們判斷關于共軛雙曲線的離心率的幾個式的正確性．著重考查了雙曲線的基本概念和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．