Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），方向向量為

d

=（1，1）的直線與C交于兩點A、B，若線段AB的中點為（4，1），則雙曲線C的漸近線方程是（　　）

• A、2x±y=0
• B、x±2y=0
• C、

  2

  x±y=0
• D、x±

  2

  y=0

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設方向向量為

d

=（1，1）的直線方程為y=x+m，聯立

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+m

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由線段AB的中點為（4，1），x₁+x₂=

2a2m

b2-a2

=8，y₁+y₂=8+2m=2，由此求出a=2b，從而能求出雙曲線C的漸近線方程．

解答： 解：設方向向量為

d

=（1，1）的直線方程為y=x+m，
聯立

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+m

，消去y，得：（b²-a²）x²-2a²mx-a²m²-a²b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵線段AB的中點為（4，1），
∴x₁+x₂=

2a2m

b2-a2

=8，y₁+y₂=8+2m=2，
解得m=-3，
∴

-6a2

b2-a2

=8，∴a=2b，
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±

1

2

x，即x±2y=0．
故選：B．

點評：本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質的靈活運用．