Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若m＞n＞0，求證：lnm-lnn＜

m+n

n

；
（3）若關于x的方程f（x）+2x=x²+λ在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，由條件，可得f′（1）=0，即可求a的值；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化證明lnx＜x-1，x＞1即可；
（3）原方程可化為x²-3x+lnx+λ=0，x∈[

1

2

，2]，構(gòu)造新函數(shù)，確定單調(diào)性與最值，即可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答：（1）解：由題意，f′（x）=1-

1

x+a

∵函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴f′（1）=0
∴a=0；
（2）證明：∵m＞n＞0，∴要證明lnm-lnn＜

m+n

n

，只需要證明ln

m

n

＜

m

n

-1
只需要證明lnx＜x-1，x＞1
記g（x）=lnx-x=-f（x）
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴g（x）＜g（1）=-1，即lnx-x＜-1
∴lnm-lnn＜

m+n

n

；
（3）解：∵f（x）+2x=x²+λ，f（x）=x-lnx
∴原方程可化為x²-3x+lnx+λ=0，x∈[

1

2

，2]
記h（x）=x²-3x+lnx+λ，x∈[

1

2

，2]
則h′(x)=

(x-1)(2x-1)

x

∴x∈(

1

2

，1)時，h′（x）＜0，x∈（1，2）時，h′（x）＞0，
∵h(

1

2

)=-

5

4

-ln2+λ，h（2）=-2+ln2+λ，h（1）=-2+λ，h(2)-h(

1

2

)=-

3

4

+ln4＞0
∴h(1)＜h(

1

2

)＜h(2)
∴

h( 1 2 )≥0 h(1)＜0

∴

- 5 4 -ln2+λ≥0 -2+λ＜0

∴

5

4

+ln2≤λ＜2．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．