Question

已知，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函數(shù)y=f（x）圖象上兩點，且線段P₁P₂中點P的橫坐標是．
（1）求證點P的縱坐標是定值； 
（2）若數(shù)列{a_n}的通項公式是（m∈N^*），n=1，2…m），求數(shù)列{a_n}的前m項和S_m； 
（3）在（2）的條件下，若m∈N^*時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知，x₁+x₂=1，故y₁+y₂=+，由此能夠證明點P的縱坐標是定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m=，利用倒序相加法能夠求出數(shù)列{a_n}的前m項和S_m．
（3）由，得12a^m（-）＜0對m∈N⁺恒成立．由此利用分類討論思想能夠求出實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）由知，x₁+x₂=1，則
y₁+y₂=+
=+
=+
=，
故點P的縱坐標是，為定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m
=，
又S_m=a_m-1+a_m-2+…+a₁+a_m
=f（）+f（）+…+f（）+f（1）
二式相加，得
++…+，
因為，…m-1），故，
又f（1）==，從而．（12分）
（3）由，
得12a^m（-）＜0…①對m∈N⁺恒成立．
顯然，a≠0，
（ⅰ）當a＜0時，由，得a^m＜0．
而當m為偶數(shù)時a^m＜0不成立，所以a＜0不合題意；
（ⅱ）當a＞0時，因為a^m＞0，
則由式①得，．
又隨m的增大而減小，
所以，當m=1時，1+有最大值，故a．（18分）
點評：本題考查點的縱坐標是定值的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意倒序相加法、分類討論思想的靈活運用．