Question

已知y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（不要求證明）

Answer 1

解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）+1=x²+2x+1…
∵y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）=x²+2x+1
∴f（x）=-x²-2x-1，x＜0…
∴…
（2）x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-2x-1在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0）上單調(diào)遞減
x∈（0，+∞）時，f（x）=x²-2x+1，在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1]，（1，+∞）…
單調(diào)遞減區(qū)間是[-1，0），（0，1]…
分析：（1）根據(jù)當(dāng)x＜0時，f（x）=-f（-x）根據(jù)x＞0時，f（x）=x²-2x+1，得到x＜0時函數(shù)的解析式，最后綜合即可得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題主要考查了函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)和單調(diào)性，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．