Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2m|，設(shè)-2＜m＜0，記f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x））（k∈N^*），則函數(shù)y=f₂₀₁₄（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、2014
• D、2015

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求f（x）=x|x-2m|=0的解，利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：∵f（x）=x|x-2m|=0的解只有兩個(gè) x=0 或x=2m，
∴對于f_k+1（x）=0，f_k（x）=0 或者 f_k（x）=2m，
假設(shè)數(shù)列{a_n}對應(yīng)的就是f_n（x）=0的解，
設(shè)f_k（x）=2m的解個(gè)數(shù)為r，
那么就有 a_n+1=a_n+r，
對應(yīng)f_k（x）=2m的交點(diǎn)所在的函數(shù)圖象部分恰好是單調(diào)的，解的個(gè)數(shù)是1個(gè)．
∴a_n+1=a_n+1是一個(gè)等差數(shù)列．
∴f_n（x）=0的解個(gè)數(shù)就是 n+1個(gè)；
故函數(shù)y=f₂₀₁₄（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2014+1=2015個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷要說明單調(diào)性，屬于中檔題．