Question

10．已知定義在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的函數(shù)f（x）=sin（π-2x）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若方程f（x）=a只有一個解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件可得f（x）=sin2x，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得它的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得它的增區(qū)間．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上只有一個交點，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．

解答 解：（1）定義在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的函數(shù)f（x）=sin（π-2x）=sin2x，
它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈z．
再結(jié)合x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]．
（2）由方程f（x）=a只有一個解，
可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上只有一個交點，
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]⇒2x∈[-$\frac{π}{3}$，π]⇒sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
如圖所示：可得a∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）或a=1，
即實數(shù)a的取值范圍為{a|-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a＜0或a=1}．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．