Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x²－bx(b為常數(shù))．
(1)函數(shù)f(x)的圖像在點(1，f(1))處的切線與g(x)的圖像相切，求實數(shù)b的值；
(2)設h(x)＝f(x)＋g(x)，若函數(shù)h(x)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；
(3)若b>1，對于區(qū)間[1,2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（1）－1±
（2）(2，＋∞)
（3）

解：(1)因為f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，因此f′(1)＝1，所以函數(shù)f(x)的圖像在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1.
由
消去y，得x²－2(b＋1)x＋2＝0.
所以Δ＝4(b＋1)²－8＝0，
解得b＝－1±.
(2)因為h(x)＝f(x)＋g(x)
＝ln x＋x²－bx(x>0)，
所以h′(x)＝＋x－b＝.
由題意知，h′(x)<0在(0，＋∞)上有解．
因為x>0，設u(x)＝x²－bx＋1，
則u(0)＝1>0，
所以，解得b>2.
所以實數(shù)b的取值范圍是(2，＋∞)．
(3)不妨設x₁>x₂.
因為函數(shù)f(x)＝ln x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以f(x₁)>f(x₂)，函數(shù)g(x)圖像的對稱軸為直線x＝b，且b>1.
(ⅰ)當b≥2時，函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以g(x₁)<g(x₂)，所以|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|等價于f(x₁)－f(x₂)>g(x₂)－g(x₁)，即f(x₁)＋g(x₁)>f(x₂)＋g(x₂)，等價于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x²－bx(x>0)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，即等價于h′(x)＝＋x－b≥0在區(qū)間[1,2]上恒成立，亦等價于b≤x＋在區(qū)間[1,2]上恒成立，所以b≤2.
又b≥2，所以b＝2；
(ⅱ)當1<b<2時，函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，b]上是減函數(shù)，在[b,2]上為增函數(shù)．
①當1≤x₂<x₁≤b時，|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|等價于f(x₁)－f(x₂)>g(x₂)－g(x₁)，等價于f(x₁)＋g(x₁)>f(x₂)＋g(x₂)，等價于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x²－bx(x>0)在區(qū)間[1，b]上是增函數(shù)，等價于h′(x)＝＋x－b≥0在區(qū)間[1，b]上恒成立，等價于b≤x＋在區(qū)間[1，b]上恒成立，所以b≤2.
又1<b<2，所以1<b<2；
②當b≤x₂<x₁≤2時，|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|等價于f(x₁)－f(x₂)>g(x₁)－g(x₂)等價于f(x₁)－g(x₁)>f(x₂)－g(x₂)，等價于H(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x²＋bx在區(qū)間[b,2]上是增函數(shù)，等價于H′(x)＝－x＋b≥0在區(qū)間[b,2]上恒成立，等價于b≥x－在區(qū)間[b,2]上恒成立，所以b≥，故≤b<2；
③當1≤x₂<b<x₁≤2時，由g(x)圖像的對稱性知，只要|f(x₁)－f(x₂)|>|g(x₁)－g(x₂)|對于①②同時成立，那么對于③，
則存在t₁∈[1，b]，使|f(x₁)－f(x₂)|>|f(t₁)－f(x₂)|>|g(t₁)－g(x₂)|＝|g(x₁)－g(x₂)|恒成立；
或存在t₂∈[b,2]，使|f(x₁)－f(x₂)|>
|f(x₁)－f(t₂)|>|g(x₁)－g(t₂)|＝
|g(x₁)－g(x₂)|恒成立．
因此≤b<2.
綜上所述，實數(shù)b的取值范圍是.