Question

已知常數(shù)a0，向量c0，a，i1，0，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以cli為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A0，a以i2lc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中lÎR．試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE||PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：概據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離的和為定值． ∵ i=(1，0)，c=(0，a)，  ∴ c+li=(l，a)，i-2lc=(1，-2la)．因此，直線OP和AP的方程分別為ly=ax和y-a=-2lax． 消去參數(shù)l，得點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y-a)=-2a2x2，整理得 ，                            ① 因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style: normal'>a>0，所以得： （1）當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； （2）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)； （3）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)

提示：

本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力