Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n、T_n，且S_n=2-2a_n，T_n=3-b_n-． 
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n）．

Answer 1

【答案】分析：（I ）由已知遞推公式可求，
當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1，b_n=T_n-T_n-1，可得，，通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及構(gòu)造等差數(shù)列可求a_n，b_n
（II）由，可考慮利用錯(cuò)位相減可求W_n，結(jié)合可求極限
解答：解：（I ）由已知可得S₁=a₁=2-2a₁，
∴，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2-2a_n，S_n-1=2-2a_n-1
兩式相減可得，a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1
∴
∴數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列
由等比數(shù)列的通項(xiàng)可得，=（3分）
當(dāng)n≥2，T_n=3-b_n-．
兩式相減可得，b_n=T_n-T_n-1=
∴
∴2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=2，2b₁=1
∴數(shù)列{2ⁿb_n}是以以1為首項(xiàng)，已2為公差的等差數(shù)列
2ⁿb_n=1+2（n-1）=2n-1
∴（6分）
（II）W_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
則
=
兩式相減可得，
==
∴（9分）
當(dāng)n≥2時(shí)，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ＞2C_n¹+2²C_n²=2n²
∴
∵
∴（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用遞推公式轉(zhuǎn)化數(shù)列的項(xiàng)與和之間的關(guān)系，等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和及數(shù)列極限的求解，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．