Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD為矩形，AD=

2

a，AB=

3

a，SA=SD=a．
（1）求證：CD⊥SA；
（2）求二面角S-AC-D的余弦值．
（3）設E為SB的中點，求點B到平面ACE的距離．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點M，AD的中點P．以P為坐標原點，PA為x軸，PM為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明CD⊥SA．
（2）求出平面CSA的一個法向量和平面ADC的一個法向量．利用向量法能夠求出二面角S-AC-D的余弦值．
（3）求出平面ACE的法向量和

AB

，利用向量法能求出點B到平面ACE的距離．

解答：解：（1）取BC的中點M，AD的中點P．
在△SAD中，SA=SD=a，P為AD的中點，所以，SP⊥AD．
又因為平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．∴PM⊥AD．
如圖，以P為坐標原點，PA為x軸，PM為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標系，
則S（0，0，

2

2

a），A（

2

2

a，0，0），B（

2

2

a，

3

a，0），
C（-

2

2

a，

3

a，0），D（-

2

2

a，0，0）．
∴

CD

=(0，-

3

a，0)，

SA

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)
因為

CD

•

SA

=0，
所以CD⊥SA．
（2）設

n

=（x，y，z）為平面CSA的一個法向量，
則有

2 2 ax- 2 2 az=0 2 ax-a 3 y=0

，所以

n

=(

3

，

2

，

3

)．
SP⊥平面ACD，所以

m

=（0，0，1）為平面ADC的一個法向量．
所以cos＜

n

，

m

＞=

3

8

=

6

4

，
所以二面角S-AC-D的余弦值為

6

4

．
（3）∵E為SB的中點，∴E（

2

4

a，

3

2

a，

2

4

a），
∴

AC

=（-

2

a，

3

a，0），

AE

=（-

2

4

a，

3

2

a，

2

4

a），
設平面ACE的法向量為

p

=（x₁，y₁，z₁），
則

- 2 ax1+ 3 ay1=0 - 2 4 ax1+ 3 2 ay1+ 2 4 az1=0

，解得

p

=（

3

，

2

，-

3

），
∵

AB

=（0，

3

a，0），
∴點B到平面ACE的距離d=

| AB • p |

| p |

=

6 a

8

=

3

2

a．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．