Question

已知a∈R，給出下面兩個命題：命題p：“在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²+2ax-2＞0恒成立”；命題q：“關(guān)于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集為空集”；當(dāng)p、q中有且僅有一個為真命題時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：兩個命題中有且只有一個是真命題，則需要對p、q的誰真誰假分情況討論．對于命題p可以利用分參思想轉(zhuǎn)化為恒成立問題．對于命題q：不等式的解集為空集，a應(yīng)滿足a=1或

a2-1＜0 △≤0

，即可求出命題q，然后根據(jù)當(dāng)p、q中有且僅有一個為真命題時，分情況討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．．

解答：解：∵x∈[1，2]時，不等式x²+2ax-2＞0恒成立
∴2a＞

2-x2

x

=

2

x

- x，
在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=

2

x

- x，
則g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（x）_max=g（1）=1，
∴2a＞1．∴若命題p真，則a＞

1

2

，
當(dāng)命題q真時，a應(yīng)滿足a=1或

a2-1＜0 △≤0

，解得-

7

9

≤a≤1，
∴當(dāng)p、q中有且僅有一個為真命題時，即

a＞ 1 2 a＞1或a＜- 7 9

或

a≤ 1 2 - 7 9 ≤a≤1

，
∴a∈[-

7

9

，

1

2

]∪(1，+∞)．

點(diǎn)評：此題是個中檔題．本題考查二次不等式恒成立求參數(shù)范圍、二次不等式的解法、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，同時考查學(xué)生對題意的理解與轉(zhuǎn)化和計算能力．