Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F₂與拋物線y²=4

3

x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且

|CD|

|ST|

=4

3

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點M（3，0）的直線l與橢圓E交于兩點A、B，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由焦點F₂（

3

，0），故可設(shè)橢圓的方程為

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，求出C，D的坐標，由拋物線與橢圓的對稱性，可得S（

3

，

1

2

），代入橢圓方程，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合

OA

+

OB

=t

OP

，求出P的坐標，代入橢圓方程，求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點F₂（

3

，0），故可設(shè)橢圓的方程為

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，
解方程組

y2=4 3 x x= 3

解得C（

3

，2

3

），D（

3

，-2

3

），
由拋物線與橢圓的對稱性，可得：

|F2C|

|F2S|

=

|CD|

|ST|

=4

3

，所以|F₂S|=

1

2

，所以S（

3

，

1

2

）．
因此

3

b2+3

+

1 4

b2

=1，解得b=1，故而a=2，
所以橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其為k．
①當k=0時，所以t=0；
②當k≠0時，則直線l的方程為y=k（x-3），
代入橢圓方程，消去y并整理得：（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△＞0，得0＜k²＜

1

5

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則x₁+x₂=

24k2

1+4k2

，x₁x₂=

36k2-4

1+4k2

．
因為

OA

+

OB

=t

OP

，所以（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x₀，y₀），
所以x₀=

1

t

（x₁+x₂）=

24k2

t(1+4k2)

，y₀=

-6k

t(1+4k2)

．
因為點P在橢圓上，所以[

24k2

t(1+4k2)

]²+[

-6k

t(1+4k2)

]²=4，
解得t²=9-

9

1+4k2

，
由于0＜k²＜

1

5

，故而0＜t²＜4，所以t∈（-2，0）∪（0，2），
綜合①②可知，t∈（-2，2）．

點評：本題重點考查圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程．