Question

已知f（x）=x²-2（-1）^klnx的導函數(shù)為f′（x），其中k∈N⁺．
（1）當k為偶數(shù)時，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，2a_nf′（a_n）=a_n+1²-3，求數(shù)列{a_n²}的通項公式；
（2）當k為奇數(shù)時，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n+1=

2

f′(bn)

，令S_n=b₁+b₂+…+b_n．證明：

n

2

≤b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n＜n+

1

2n

-1(n∈N+)．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,導數(shù)的加法與減法法則

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當k為偶數(shù)時，求導數(shù)，由條件得：4（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，證明{a_n ²-

1

3

}是一個公比為4的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n²}的通項公式；
（2）先證明b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1），再證明左、右邊成立即可．

解答： （1）解：當k為偶數(shù)時，f′（x）=2x-

2

x

，∴f′（a_n）=2a_n-

2

an

，
由條件得：4（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，故有：a_n+1 ²-

1

3

=4（a_n ²-

1

3

），
∴{a_n ²-

1

3

}是一個公比為4的等比數(shù)列，∴a_n²=

2

3

×4^n-1+

1

3

；
（2）證明：當k為奇數(shù)時，f′（x）=2（x+

1

x

），b_n+1=

2

f′(bn)

=

bn

1+bn2

，
∴

1

bn+1

-

1

bn

=b_n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

bn+1

-

1

b1

，
∴b_n+1S_n=1-b_n+1，
∴b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1），
∵b₁=1，∴b_n＞0，
∵b_n+1=

2

f′(bn)

=

bn

1+bn2

=

1

bn+ 1 bn

≤

1

2

，
∴b₂+…+b_n+1≤

n

2

，
∴b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1）≥

n

2

，左邊得證，
∵b_n+1-b_n=

bn

1+bn2

-b_n＜0
∴{b_n}單調遞減，
∴0＜b_n＜1，
∵b_n+1-

bn

2

=

bn(1-bn2)

1+bn2

＞0，
∴b_n+1＞

1

2

b_n＞…＞

1

2n

b₁=

1

2n

，
∴b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n=n-（b₂+…+b_n+1）＜n+

1

2n

-1(n∈N+)．右邊得證．
∴

n

2

≤b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n＜n+

1

2n

-1(n∈N+)．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．