Question

【題目】小明準(zhǔn)備利用暑假時間去旅游，媽媽為小明提供四個景點(diǎn)，九寨溝、泰山、長白山、武夷山．小明決定用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識制定一個方案來決定去哪個景點(diǎn)：（如圖）曲線 和直線 交于點(diǎn) ．以 為起點(diǎn)，再從曲線 上任取兩個點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為 ．若 去九寨溝；若 去泰山；若 去長白山； 去武夷山．

（1）若從 這六個點(diǎn)中任取兩個點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，分別求小明去九寨溝的概率和不去泰山的概率；
（2）按上述方案，小明在曲線 上取點(diǎn) 作為向量的終點(diǎn)，則小明決定去武夷山．點(diǎn) 在曲線 上運(yùn)動，若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知得到向量組合方式共有：

共15種

設(shè)事件“去九寨溝”=B，“不去泰山”=C

則去九寨溝即ξ>0：

共4種

去泰山即=0，

共4種

（2）解：由題意：小明去武夷山即

故可設(shè)

上式幾何意義：圓 上的點(diǎn)與點(diǎn)（6，3）的距離

上式的最大值即點(diǎn) 距離的最大值，即圓心 的距離再加半徑

即

所以

【解析】(1)由題意列出所有可能的事件結(jié)合古典概率型公式可求得概率。(2)根據(jù)題意結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式可得出A7,A8關(guān)于原點(diǎn)對稱，借助向量的坐標(biāo)關(guān)系可求得三個向量和的模長為圓 x2 + y2 = 1 上的點(diǎn)與點(diǎn)（6，3）的距離，由幾何意義可得到上式的最大值即點(diǎn) ( x , y ) 與 ( 6 , 3 ) 距離的最大值，即圓心 ( 0 , 3 ) 與 ( 6 , 3 ) 的距離再加半徑，代入數(shù)值計算出結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內(nèi)，PO＜r．