Question

6．已知正實數(shù)a，b滿足：a²+b²=2$\sqrt{ab}$．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值m；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|（t＞0），對于（Ⅰ）中求得的m，是否存在實數(shù)x使f（x）=$\frac{m}{2}$成立，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由基本不等式可得2ab≤a²+b²=2$\sqrt{ab}$；從而可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$≥2；
（Ⅱ）由絕對值的定義可得函數(shù)f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|t+$\frac{1}{t}$|≥2＞$\frac{m}{2}$=1，從而判斷．

解答 解：（Ⅰ）∵2ab≤a²+b²=2$\sqrt{ab}$；
∴$\sqrt{ab}$≤1（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）；
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）；
∴m=2；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|t+$\frac{1}{t}$|≥2＞$\frac{m}{2}$=1，
∴滿足條件的實數(shù)x不存在．

點評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用及絕對值不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．