Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)P（a_n，S_n）在直線y=2x-2上（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=2(1-

1

an

)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足cn=

an

n2

，試比較：cn與

n

n+1

的大小．

Answer 1

分析：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n＞1時，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=2a_n-1，由此能求出a_n=2ⁿ；
（2）先求和，再利用T_n＞2011，即可求使T_n＞2011的n的最小值；
（3）設(shè)c_n=

2n

n2

，g（n）=

n

n+1

，證明當(dāng)n≥4時c_n＞g（n），即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n＞1時，S_n-1=2a_n-1-2
∴n≥2時，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，（2分）
又n=1時，a₁=2
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）依題意，bn=2(1-

1

an

)=2-(

1

2

)n-1
∴Tn=2n-2+2•(

1

2

 )n
由T_n＞2011，得n+(

1

2

 )n＞

2013

2

n≤1006時，n+(

1

2

 )n＜

2013

2

，當(dāng)n≥1007時，n+(

1

2

 )n＞

2013

2

因此n的最小值為1007；
（3）設(shè)c_n=

2n

n2

，g（n）=

n

n+1

．
∵c_n+1-c_n=

2n[n(n-2)-1]

[n(n+1)]2

，當(dāng)n≥3時，c_n+1-c_n＞0，
∴當(dāng)n≥3時，{c_n}遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n≥4時，c_n≥c₄=1，而g（n）＜1，∴當(dāng)n≥4時c_n＞g（n），
經(jīng)檢驗(yàn)n=1，2，3時，仍有c_n＞g（n），
因此，對任意正整數(shù)n，都有c_n＞g（n），
即cn＞

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．