Question

已知橢圓 （常數(shù)m＞1），P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，M是曲線C上的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）
（1）若M與A重合，求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若m=3，求|PA|的最大值與最小值；
（3）若|PA|的最小值為|MA|，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得參數(shù)a的值，已知b=1，進(jìn)而可得答案；
（2）根據(jù)題意，可得橢圓的方程，變形可得y²=1-；而|PA|²=（x-2）²+y²，將y²=1-代入可得，|PA|²=-4x+5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，又由x的范圍，分析可得，|PA|²的最大與最小值；進(jìn)而可得答案；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），類似與（2）的方法，化簡(jiǎn)可得|PA|²=（x-）²++5，且-m≤x≤m；根據(jù)題意，|PA|的最小值為|MA|，即當(dāng)x=m時(shí)，|PA|_^取得最小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，≥m，且m＞1；解可得答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；
則a=2；橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；
則c=；
則橢圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），（-，0）；
（2）若m=3，則橢圓的方程為+y²=1；
變形可得y²=1-，
|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=-4x+5；
又由-3≤x≤3，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，
x=-3時(shí)，|PA|²=-4x+5取得最大值，且最大值為25；
x=時(shí)，|PA|²=-4x+5取得最小值，且最小值為；
則|PA|的最大值為5，|PA|_^的最小值為；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
則|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=（x-）²++5，且-m≤x≤m；
當(dāng)x=m時(shí)，|PA|_^取得最小值，且＞0，
則≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時(shí)要結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，注意換元法的運(yùn)用即可．