如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．平面上有點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓M，N相交，且直線l1被圓M截得的弦長與直線l2被圓N截得的弦長的比為
3
：1，試求所有滿足條件的點P的坐標．
（Ⅰ）∵拋物線C1：y2=8x的焦點為F2（2，0），
∴雙曲線C2的焦點為F1（-2，0）、F2（2，0），（1分）
設(shè)A（x0，y0）在拋物線C1：y2=8x上，且|AF2|=5，
由拋物線的定義得，x0+2=5，∴x0=3，（2分）
∴y02=8×3，∴y0=±2
6
，（3分）
∴|AF1|=
(3+2)2+(±2
6
)2
=7，（4分）
又∵點A在雙曲線上，
由雙曲線定義得，2a=|7-5|=2，∴a=1，（5分）
∴雙曲線的方程為：x2-
y2
3
=1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)圓M的方程為：（x+2）2+y2=r2，
雙曲線的漸近線方程為：y=±
3
x，
∵圓M與漸近線y=±
3
x相切，∴
圓M的半徑為d=
2
3
2
=
3
，（7分）
故圓M：（x+2）2+y2=3，（8分）
設(shè)點P（x0，y0），則l1的方程為y-y0=k（x-x0），
即kx-y-kx0+y0=0，l2的方程為y-y0=-
1
k
(x-x0)，
即x+ky-x0-ky0=0，
∴點M到直線l1的距離為d1=
|2k+kx0-y0|
1+k2
，
點N到直線l2的距離為d2=
|x0+ky0-2|
1+k2
，
∴直線l1被圓M截得的弦長s=2
3-(
2k+kx0-y0
1+k2
)2
，
直線l2被圓N截得的弦長t=2
1-(
x0+ky0-2
1+k2
)2
，（11分）
由題意可得，
s
t
=
3-
(2k+kx0-y0)2
1+k2
1-
(x0+ky0-2)2
1+k2
=
3
，
即3（x0+ky0-2）2=（2k+kx0-y0）2，
∴
3
x0+
3k
y0-2
3
=2k+kx0-y0①
或
3
x0+
3k
y0-2
3
=-2k-kx0+y0②（12分）
由①得：(x0-
3
y0+2)k-(
3
x0+y0-2
3
)=0，
∵該方程有無窮多組解，
∴
x0-
3
y0+2=0
3
x0+y0-2
3
=0
，解得
x0=1
y0=
3
，
點P的坐標為(1，
3
)．（13分）
由②得：(x0+
3
y0+2)k+(
3
x0-y0-2
3
)=0，
∵該方程有無窮多組解，
∴
x0+
3
y0+2=0
3
x0-y0-2
3
=0
，解得
x0=1
y0=-
3
，
點P的坐標為(1，-
3
)．
∴滿足條件的點P的坐標為(1，
3
)或(1，-
3
)．（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F1的坐標為（-1，0），已知橢圓E上的一點到F1、F2兩點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的右焦點F2作一條傾斜角為
π
4
的直線交橢圓于C、D，求△CDF1的面積；
（Ⅲ）設(shè)點P（4，t）（t≠0），A、B分別是橢圓的左、右頂點，若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點M、N，求證∠MBP為銳角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
（此題不要求在答題卡上畫圖）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，頂點為O，準線為l，過該拋物線上異于頂點O的任意一點A作AA1⊥l于點A1，以線段AF，AA1為鄰邊作平行四邊形AFCA1，連接直線AC交l于點D，延長AF交拋物線于另一點B．若△AOB的面積為S△AOB，△ABD的面積為S△ABD，則
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py過點P(1，
1
2
)，直線l交C于A，B兩點，過點P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點Q，當直線l過點Q時，△PAM與△PBN的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求弦長|PQ|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）有兩個頂點在直線x+2y-2=0上
（1）求橢圓C的方程；
（2）當直線l：y=x+m與橢圓C相交時，求m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若以為AB直徑的圓過原點，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓
x2
9
+
y2
5
=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F，設(shè)過點T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0
（1）設(shè)動點P滿足(
PF
+
PB
)(
PF
-
PB
)=13，求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)x1=2，x2=
1
3
，求點T的坐標；
（3）若點T在點P的軌跡上運動，問直線MN是否經(jīng)過x軸上的一定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=1．
（Ⅰ）若過點C1（-1，0）的直線l被圓C2截得的弦長為
6
5
，求直線l的方程；
（Ⅱ）圓D是以1為半徑，圓心在圓C3：（x+1）2+y2=9上移動的動圓，若圓D上任意一點P分別作圓C1的兩條切線PE，PF，切點為E，F(xiàn)，求
C1E
•
C1F
的取值范圍；
（Ⅲ）若動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長，則動圓C是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．

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