Question

經(jīng)過點(diǎn)F （0，1）且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M點(diǎn)A、D在軌跡M上，且關(guān)于y軸對稱，過線段AD （兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線l，使直線l與軌跡M 在點(diǎn)D處的切線平行，設(shè)直線l與軌跡M交于點(diǎn)B、C．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：∠BAD=∠CAD；
（3）若點(diǎn)D到直線AB的距離等于，且△ABC的面積為20，求直線BC的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），由題意動圓經(jīng)過定點(diǎn)F（0，1），且與定直線：y=-1相切，
所以 =|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=-4y．故軌跡M的方程為x²=-4y．
（2）由（1）得y=x²，∴y′=x，
設(shè)D（x₀，），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義 得直線l的斜率為k_BC=，
則A（-x₀，），設(shè)C（x₁，），B（x₂，）．
則k_BC===x₀，∴x₁+x₂=2x₀．
k_AC==，k_AB=，
∴k_BC+_AB=+==0，∴k_AB=-k_BC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）點(diǎn)D到直線AB的距離等于，可知∠BAD=45°，
不妨設(shè)C在AD上方，即x₂＜x₁，直線AB的方程為：y-=-（x+x₀），與x²=-4y聯(lián)立方程組，
解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀-4，），∴|AB|=|x₀-4-（-x₀）|=2|x₀-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2|x₀+2|．
∴△ABC的面積為×|x₀+2|×2|x₀-2|=20．
解得x₀=±3．
當(dāng)x₀=3時(shí)，B（（-1，），K_BC=，直線BC的方程為6x-4y+7=0；
當(dāng)x₀=-3時(shí)，B（（-7，），K_BC=-，直線BC的方程為6x+4y-7=0；
分析：（1）設(shè)出動圓的圓心坐標(biāo)，利用動圓經(jīng)過定點(diǎn)F（0，1），且與定直線：y=-1相切，列出方程化簡即可得到所求軌跡方程．
（2）由（1）得y=x²，設(shè)D（x₀，），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得直線l的斜率，又A（-x₀，），設(shè)C（x₁，），B（x₂，）．利用斜率公式得到x₁+x₂=2x₀．從而有k_AB=-k_BC，即可證得∠BAD=∠CAD．
（3）根據(jù)條件：點(diǎn)D到直線AB的距離等于，可知∠BAD=45°，將直線AB的方程與x²=-4y聯(lián)立方程組，解得B點(diǎn)的坐標(biāo)，求出|AB|，|AC|，最后根據(jù)△ABC的面積列出方程，解得x₀=±3，從而得出直線BC的方程．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．